Juan Carlos Villa Soto Ť Las carreteras son curvas continuas, pero además diferenciables, pues en ellas los automóviles se pueden mover suavemente sin cambios abruptos. Si no fueran diferenciables, los autos tendrían que detenerse totalmente para avanzar en un tramo, so pena de chocar o despeñarse.

Los doctores Héctor Sánchez Morgado, investigador del Instituto de Matemáticas, y Eugenio Garnica Vigil, investigador del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UNAM, hacen una pausa en su seminario del viernes por la noche y acceden a continuar hablando de la geometría diferencial, pero para un público más amplio. Entonces, el lenguaje matemático cede su sitio en el pizarrón a las figuras geométricas, esferas y representaciones de objetos curvilíneos como las carreteras.

El doctor Héctor Sánchez Morgado nos explica que se puede detectar la diferenciabilidad de una curva si se traza una recta próxima a todos sus puntos y se obtiene la derivada, es decir, la razón de cambio instantánea de un objeto que se desplaza en ella. La velocidad y la aceleración de un objeto se miden precisamente mediante una razón de cambio --entre la posición y el tiempo o entre la velocidad y el tiempo, respectivamente.

El doctor Sánchez Morgado aclaró que cuando se divide la distancia que un auto ha recorrido entre el tiempo en que realizó ese recorrido, en realidad lo que se calcula es la velocidad promedio, pues sólo se están tomando en cuenta los puntos de partida y de llegada; lo cierto, agregó, es que a veces el carro va más rápido o más despacio en ciertos tramos por las características del terreno.

Entonces ¿cómo se conoce la derivada en un punto o la velocidad instantánea?

El doctor Eugenio Garnica Vigil comenta que si alguien va en su vehículo y quiere saber cuál es la derivada en un punto del recorrido, basta con que vea el velocímetro. Aunque, por supuesto, esto se puede formalizar y, mediante un proceso analítico, se pueden desarrollar fórmulas matemáticas para realizar estos cálculos: basta conocer el cálculo diferencial, herramienta básica para la geometría diferencial.

Sánchez Morgado nos dice que la geometría diferencial se empezó a desarrollar desde que se comenzaron a representar curvas en un sistema de coordenadas. Uno de los primeros problemas que se planteó en la geometría diferencial fue cómo medir la distancia entre dos puntos en la esfera. Este es un problema típico del cálculo de variaciones: elegir de todas las curvas posibles, aquélla que recorra la distancia mínima. El investigador comentó que una ley general de la física es precisamente que las partículas sigan las trayectorias más cortas conforme al principio del menor esfuerzo. En el caso de la esfera, la solución de identificar la distancia más corta entre dos puntos es obvia, no es necesario realizar cálculos; pero cuando se representan longitudes curvilíneas de la superficie terrestre, por ejemplo, y se desea conocer la distancia mínima entre dos puntos, el problema se empieza a complicar y se requieren más herramientas matemáticas para resolverlo. Para empezar, la solución es una ecuación diferencial que, a su vez, se tiene que resolver.

El doctor Sánchez Morgado comentó que están interesados en estudiar problemas globales del cálculo de variaciones. Por supuesto, hay resultados en el caso de las curvas geodésicas que se conocen muy bien, y el objetivo es realizar generalizaciones de estos resultados.

El doctor Garnica Vigil agregó que para poder generalizar es muy importante identificar los elementos esenciales que se utilizan para la solución de ciertos problemas. Es posible que en este proceso de abstracción la solución se encuentre en otras áreas de las matemáticas, acotó.

Finalmente, los investigadores se refirieron a la importancia de la interrelación de la geometría diferencial y del cálculo de variaciones con otros campos de la matemática (como las ecuaciones diferenciales y la teoría de Lie), así como con la física.